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Empuje lateral del suelo: tipos y ejemplo de cálculo

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Andrés Gracia
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¿Qué es el empuje lateral del suelo?

El empuje lateral del suelo corresponde a la presión ejercida por el suelo sobre una estructura determinada. Este empuje actúa como una fuerza que puede aportar capacidad de carga, estabilidad o inestabilidad dependiendo del análisis que se esté realizando y de las hipótesis propuestas para el análisis.

La relación entre el esfuerzo efectivo y el empuje lateral del suelo está dada por el coeficiente de empuje lateral del suelo KK:

K=σh′σ0′K = \frac{\sigma'_h}{\sigma'_0}

Donde:

  • KK es el coeficiente de empuje lateral del suelo.
  • σh′\sigma'_h es el empuje lateral del suelo.
  • σ0′\sigma'_0 es el esfuerzo efectivo vertical.

Tipos de empuje lateral del suelo

El empuje lateral del suelo depende de la hipótesis respecto al desplazamiento horizontal de la estructura en caso de que ocurra una falla, para ello se puede catalogar en tres tipos.

Tipos de empuje: en reposo, pasivo y activo

En general se cumple la siguiente condición:

Ka<K0<KpK_a < K_0 < K_p

Por lo tanto, el empuje pasivo siempre será mayor que el empuje activo del suelo.

Empuje en reposo

Si la hipótesis es que la estructura sufre pocas deformaciones o pocos desplazamientos, manteniendo el suelo en un estado inalterado, el tipo de empuje será en reposo.

Esquema de empuje en reposo

El empuje en reposo se define matemáticamente como:

σen reposo=K0 σ0′\sigma_{\text{en reposo}} = K_0 \ \sigma'_0

Para suelos granulares y normalmente consolidados:

K0=(1−sin⁡ϕ′)(1−sinβ)K_0 = (1-\sin\phi')(1-sin\beta)

Donde:

  • ϕ′\phi' es el ángulo de fricción del suelo.
  • β\beta es el ángulo de inclinación de la superficie del terreno.

Para rellenos sobreconsolidados:

K0=(1−sin⁡ϕ′)OCRsin⁡ϕ′K_0 = (1-\sin\phi') OCR^{\sin\phi'}

Donde OCROCR es la relación de sobreconsolidación del suelo: =σc′/σ0′=\sigma'_c/\sigma'_0

El uso del empuje en reposo usualmente se asocia con el cálculo de la capacidad portante en pilotes. Respecto a las estructuras de contención, no es común considerar este tipo de empuje.

Empuje activo

Esquema de empuje activo

El empuje activo tiene como hipótesis que la estructura se desplaza o deforma alejandose del relleno.

El coeficiente de empuje activo puede definirse según la teoría de Rankine o la teoría de Coulomb. Para este artículo analizaremos la teoría de Rankine.

Esta teoría considera las siguientes hipótesis:

  • La parte posterior de la estructura es vertical.
  • El relleno tiene una superficie horizontal.
  • No hay fricción entre la estructura y el relleno.

El empuje activo de Rankine se define matemáticamente como:

σa′=σ0′Ka−2cKa\sigma'_a = \sigma'_0 K_a - 2 c \sqrt{K_a}

Donde:

  • cc es la cohesión del relleno.
  • Ka=tan⁡2(45°−ϕ′2)K_a = \tan^2\left( 45° - \frac{\phi'}{2} \right)

El uso del empuje activo está relacionado con el cálculo de fuerzas desestabilizantes en estructuras de contención como muros o gaviones.

Empuje pasivo

Esquema de empuje pasivo

El empuje pasivo tiene como hipótesis que la estructura se desplaza o deforma hacia el relleno.

El coeficiente de empuje pasivo puede definirse según la teoría de Rankine o la teoría de Coulomb. Para este artículo analizaremos la teoría de Rankine.

El empuje pasivo de Rankine se define matemáticamente como:

σp′=σ0′Kp+2cKp\sigma'_p = \sigma'_0 K_p + 2 c \sqrt{K_p}

Donde:

  • Kp=tan⁡2(45°+ϕ′2)K_p = \tan^2\left( 45° + \frac{\phi'}{2} \right)

El uso del empuje activo está relacionado con el cálculo de fuerzas estabilizantes en estructuras de contención como muros o gaviones.

Cálculo de la fuerza equivalente y su punto de aplicación

Esquema de cálculo de fuerza equivalente y punto de aplicación

El empuje lateral del suelo es una presión a la cual se le debe calcular su fuerza equivalente y su punto de aplicación para ser útil en cálculos de estabilidad.

La fuerza equivalente corresponde al área de la distribución del empuje lateral del suelo y su punto de aplicación corresponde al centroide en el eje vertical.

Si el relleno se encuentra sumergido parcial o totalmente, esto afecta directamente el cálculo del esfuerzo efectivo del suelo y a su ver el empuje lateral. También se debe incluir la fuerza ejercida por la presión hidrostática.

Áreas para cálculo de fuerza equivalente y punto de aplicación

La fuerza equivalente PaP_a se calcula de la siguiente forma:

Pa=A1+A2+A3+A4P_a = A_1 + A_2 + A_3 + A_4

Por su parte zˉ\bar{z}:

Pazˉ=A1b1+A2b2+A3b3+A4b4P_a \bar{z} = A_1 b_1 + A_2 b_2 + A_3 b_3 + A_4 b_4 zˉ=A1b1+A2b2+A3b3+A4b4Pa\bar{z} = \frac{A_1 b_1 + A_2 b_2 + A_3 b_3 + A_4 b_4}{P_a}

Tip para el cálculo del empuje lateral del suelo

Cuando hay múltiples tipos de suelos, es común cometer el error de que la función del empuje lateral del suelo sea continua como es en el caso del esfuerzo efectivo vertical. Por este motivo desde rischio sugerimos la siguiente metodología:

  1. calcular el esfuerzo efectivo e identificar los puntos donde cambia la pendiente
  2. a cada punto aplicar la fórmula del empuje lateral del suelo para construir la distribución
  3. calcular la presión hidrostática
  4. proceder con el calculo de la fuerza equivalente y su punto de aplicación

Tip para cálculo de fuerza equivalente y punto de aplicación

Observa que en el cálculo del empuje lateral del suelo pueden presentarse saltos en su distribución cuando cambia el coeficiente de empuje lateral. Es tentador hacer el cálculo de manera directa, pero este paso a paso te ayudará a evitar errores de cálculo.

Ejemplo

Calcula el empuje activo sobre el muro presentado en la figura a continuación.

Ejemplo de cálculo

  1. Calcular el perfil del esfuerzo efectivo.

Ejemplo: Distribución del esfuerzo efectivo

Profundidad z=0mz = 0 \text{m}

σ0′=0\sigma'_{0} = 0

Profundidad z=2mz = 2 \text{m}

σ0′=σ0,(z=0)′+γ1Δz=0+17kN/m3 2m=34kN/m2\begin{aligned} \sigma'_{0} &= \sigma'_{0,(z=0)} + \gamma_1 \Delta z \\ &= 0 + 17 \text{kN/m}^3 \ 2 \text{m} \\ &= 34 \text{kN/m}^2 \end{aligned}

Profundidad z=3mz = 3 \text{m}

σ0′=σ0,(z=2)′+(γsat,1−γw)Δz=34kN/m2+(19kN/m3−10kN/m3) 1m=43kN/m2\begin{aligned} \sigma'_{0} &= \sigma'_{0,(z=2)} + (\gamma_{sat,1} - \gamma_w) \Delta z \\ &= 34 \text{kN/m}^2 + (19 \text{kN/m}^3 - 10 \text{kN/m}^3) \ 1 \text{m} \\ &= 43 \text{kN/m}^2 \end{aligned}

Profundidad z=5mz = 5 \text{m}

σ0′=σ0,(z=3)′+(γsat,2−γw)Δz=43kN/m2+(18kN/m3−10kN/m3) 2m=59kN/m2\begin{aligned} \sigma'_{0} &= \sigma'_{0,(z=3)} + (\gamma_{sat,2} - \gamma_w) \Delta z \\ &= 43 \text{kN/m}^2 + (18 \text{kN/m}^3 - 10 \text{kN/m}^3) \ 2 \text{m} \\ &= 59 \text{kN/m}^2 \end{aligned}
  1. Calcular el coeficiente de empuje activo de cada tipo de suelo.

Para el Suelo 1

Ka,1=tan⁡2(45°−ϕ1′2)=tan⁡2(45°−20°2)=0.49\begin{aligned} K_{a,1} &= \tan^2\left( 45° - \frac{\phi'_1}{2} \right) \\ &= \tan^2\left( 45° - \frac{20°}{2} \right) \\ &= 0.49 \end{aligned}

Para el suelo 2

Ka,2=tan⁡2(45°−ϕ2′2)=tan⁡2(45°−30°2)=0.333\begin{aligned} K_{a,2} &= \tan^2\left( 45° - \frac{\phi'_2}{2} \right)\\ &= \tan^2\left( 45° - \frac{30°}{2} \right) \\ &= 0.333 \end{aligned}
  1. Calcular el perfil del empuje activo.

Ejemplo: Distribución del empuje lateral

Para el suelo 1

σ0,(z=0)′=σ0,(z=0)′Ka,1−2c′Ka,1=0⋅0.49−2⋅10kPa 0.49=−14kPa\begin{aligned} \sigma'_{0,(z=0)} &= \sigma'_{0,(z=0)} K_{a,1} - 2 c' \sqrt{K_{a,1}} \\ &= 0 \cdot 0.49 - 2 \cdot 10 \text{kPa} \ \sqrt{0.49} \\ &= - 14 \text{kPa} \end{aligned} σ0,(z=2)′=σ0,(z=2)′Ka,1−2c′Ka,1=34⋅0.49−2⋅10kPa 0.49=2.66kPa\begin{aligned} \sigma'_{0,(z=2)} &= \sigma'_{0,(z=2)} K_{a,1} - 2 c' \sqrt{K_{a,1}} \\ &= 34 \cdot 0.49 - 2 \cdot 10 \text{kPa} \ \sqrt{0.49} \\ &= 2.66 \text{kPa} \end{aligned} σ0,(z=3)′=σ0,(z=3)′Ka,1−2c′Ka,1=43⋅0.333−2⋅10kPa 0.49=7.07kPa\begin{aligned} \sigma'_{0,(z=3)} &= \sigma'_{0,(z=3)} K_{a,1} - 2 c' \sqrt{K_{a,1}} \\ &= 43 \cdot 0.333 - 2 \cdot 10 \text{kPa} \ \sqrt{0.49} \\ &= 7.07 \text{kPa} \end{aligned}

Para el suelo 2

σ0,(z=3)′=σ0,(z=3)′Ka,2−2c′Ka,2=43⋅0.333−2⋅0kPa 0.49=14.33kPa\begin{aligned} \sigma'_{0,(z=3)} &= \sigma'_{0,(z=3)} K_{a,2} - 2 c' \sqrt{K_{a,2}} \\ &= 43 \cdot 0.333 - 2 \cdot 0 \text{kPa} \ \sqrt{0.49} \\ &= 14.33 \text{kPa} \end{aligned} σ0,(z=5)′=σ0,(z=5)′Ka,2−2c′Ka,2=59⋅0.333−2⋅0kPa 0.49=19.66kPa\begin{aligned} \sigma'_{0,(z=5)} &= \sigma'_{0,(z=5)} K_{a,2} - 2 c' \sqrt{K_{a,2}} \\ &= 59 \cdot 0.333 - 2 \cdot 0 \text{kPa} \ \sqrt{0.49} \\ &= 19.66 \text{kPa} \end{aligned}
  1. Calcular el empuje hidrostático

Ejemplo: Distribución del empuje hidrostático

σq,(z=3)′=0\begin{aligned} \sigma'_{q,(z=3)} &= 0 \end{aligned} σq,(z=5)′=γwΔz=10kN/m3⋅3m=30kN/m2\begin{aligned} \sigma'_{q,(z=5)} &= \gamma_w \Delta z \\ &= 10 \text{kN/m}^3 \cdot 3 \text{m} \\ &= 30 \text{kN/m}^2 \end{aligned}
  1. Calcular la fuerza equivalente y el punto de aplicación.

Ejemplo: Cálculo de fuerza equivalente y punto de aplicación

En este caso, podemos usar otro tip y es no subdividir el empuje activo en cuadrados y triángulos sino utilizar trapecios.

El área de un trapecio es:

A=base superior+base inferior2⋅alturaA = \frac{\text{base superior} + \text{base inferior}}{2} \cdot \text{altura}

Y el centroide vertical es:

zˉ=altura⋅(base inferior+2⋅base superior)3⋅(base inferior+base superior)\bar{z} = \frac{\text{altura} \cdot (\text{base inferior} + 2\cdot \text{base superior})}{3\cdot(\text{base inferior} + \text{base superior})}

Cálculo PaP_a

Pa=A1,2+A3,4+A5,6+A7=−11.33kN+4.87kN+34kN+45kN=73.53kN\begin{aligned} P_a &= A_{1,2} + A_{3,4}+ A_{5,6} + A_7 \\ &= -11.33 \text{kN} + 4.87 \text{kN} + 34 \text{kN} + 45 \text{kN}\\ &= 73.53 \text{kN} \end{aligned}

Por su parte zˉ\bar{z}:

zˉ=A1,2b1,2+A3,4b3,4+A5,6b5,6+A7b7Pa=−11.33kN⋅4.49m+4.87kN⋅2.42m+34kN⋅0.94m+45kN⋅1m73.53kN=0.52m\begin{aligned} \bar{z} &= \frac{A_{1,2} b_{1,2} + A_{3,4} b_{3,4} + A_{5,6} b_{5,6} + A_7 b_7}{P_a}\\ &= \frac{-11.33 \text{kN} \cdot 4.49 \text{m} + 4.87 \text{kN} \cdot 2.42 \text{m} + 34 \text{kN} \cdot 0.94 \text{m} + 45 \text{kN} \cdot 1 \text{m}}{73.53 \text{kN}}\\ &= 0.52 \text{m} \end{aligned}

Referencias

  • Das, B. M., & Sivakugan, N. (2018). Principles of Foundation Engineering.
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