Cimentación superficial: Teoría

A continuación, se describen las ecuaciones utilizadas en la herramienta Cimentación Superficial.

Ecuación general de capacidad de carga

La ecuación general de capacidad de carga de Meyerhof se expresa como:

$$q_{u} = c' N_c F_{cs} F_{cd} F_{ci} + \gamma q' N_q F_{qs} F_{qd} F_{qi} + 0.5 \gamma B N_\gamma F_{\gamma s} F_{\gamma d} F_{\gamma i}$$

Donde:

• $q_{u}$: Capacidad de carga última ($\text{kN/m}^2$).
• $c'$: Cohesión efectiva del suelo (kN/m^2^).
• $q'$: Esfuerzo efectivo en la base de la cimentación ($\text{kN/m}^2$).
• $\gamma$: Peso unitario del suelo ($\text{kN/m}^3$).
• $B$: Ancho de la cimentación ($\text{m}$).
• $N_c, N_q, N_\gamma$: Factores de capacidad de carga (adimensionales).
• $F_{cs}, F_{qs}, F_{\gamma s}$: Factores de forma (adimensionales).
• $F_{cd}, F_{qd}, F_{\gamma d}$: Factores de profundidad (adimensionales).
• $F_{ci}, F_{qi}, F_{\gamma i}$: Factores de inclinación (adimensionales).

Los factores de capacidad de carga se definen como:

$$N_q = \tan^2 \left( 45° + \frac{\phi'}{2}\right) e^{\pi \tan \phi'}$$ $$N_c = (N_q-1) \cot \phi'$$ $$N_\gamma = 2 (N_q + 1) \tan \phi'$$

Por su parte, los factores de forma:

$$F_{cs} = 1 + \left(\frac{B}{L}\right)\left(\frac{N_q}{N_c}\right)$$ $$F_{qs} = 1 + \left(\frac{B}{L}\right)\tan \phi'$$ $$F_{\gamma s} = 1 - 0.4 \left(\frac{B}{L}\right)$$

Adicionalmente, los factores de profundidad:

Caso 1: $\frac{D_f}{B} \leq 1$ y $\phi' = 0$ :

$$F_{cd} = 1 + 0.4 \left(\frac{D_f}{B}\right)$$ $$F_{qd} = 1$$ $$F_{\gamma d} = 1$$

Caso 2: $\frac{D_f}{B} \leq 1$ y $\phi' > 0$ :

$$F_{cd} = F_{qd} - \frac{1-F_{qd}}{N_c \tan \phi'}$$ $$F_{qd} = 1 + 2 \tan \phi' (1- \sin \phi')^2 \left( \frac{D_f}{B} \right)$$ $$F_{\gamma d} = 1$$

Caso 3: $\frac{D_f}{B} > 1$ y $\phi' = 0$ :

$$F_{cd} = 1 + 0.4 \tan^{-1}\left(\frac{D_f}{B}\right)$$ $$F_{qd} = 1$$ $$F_{\gamma d} = 1$$

Caso 4: $\frac{D_f}{B} > 1$ y $\phi' > 0$ :

$$F_{cd} = F_{qd} - \frac{1-F_{qd}}{N_c \tan \phi'}$$ $$F_{qd} = 1 + 2 \tan \phi' (1- \sin \phi')^2 \tan^{-1}\left( \frac{D_f}{B} \right)$$ $$F_{\gamma d} = 1$$

Por último, los factores de inclinación:

$$F_{ci} = F_{qi} = \left( 1 - \frac{\beta°}{90°} \right)^2$$ $$F_{\gamma i} = \left( 1 - \frac{\beta°}{\phi'} \right)^2$$

Efecto del nivel freático

La influencia del nivel freático en la capacidad portante implica realizar modificaciónes en el cálculo de los parámetros $\gamma$ y $q$ de la Ecuación General de Capacidad de Carga de Meyerhof. Estas modificaciones están sujetas a la condición de saturación:

Caso saturado $D_w \leq D_f$ :

$$\gamma = \gamma' = \gamma_{sat} - \gamma_w$$ $$q = D_w \gamma + (D_f-D_w) (\gamma_{sat} - \gamma_w)$$

Donde:

• $\gamma_{sat}$: Peso unitario del suelo saturado ($\text{kN/m}^3$).
• $\gamma_{w}$: Peso unitario del agua ($\text{kN/m}^3$).

Caso parcialmente saturado $Df < D_w \leq D_f + B$ :

$$\bar{\gamma} = \gamma' + \frac{D_w - Df}{B} (\gamma - \gamma')$$ $$q = \gamma D_f$$

Caso seco $D_w > D_f + B$ :

$$\gamma = \gamma$$ $$q = \gamma D_f$$

Carga excéntrica

Las cargas excéntricas modifican el área de aplicación de la carga. Este cálculo se realiza mediante el Método del Área Efectiva.

Para ello, se debe calcular la presión máxima y la presión mínima en la base de la cimentación.

$$e = \frac{M}{Q}$$ $$q_{max} = \frac{Q}{BL} \left(1+\frac{6e}{B}\right)$$ $$q_{min} = \frac{Q}{BL} \left(1-\frac{6e}{B}\right)$$

Donde:

• $Q$: Carga vertical total ($\text{kN}$).
• $M$: Momento actuante sobre la cimentación ($\text{kN m}$).

La excentricidad de la carga no debe exceder $e > B/6$ ya que a partir de este valor, $q_{min}$ será negativo y ocurrirá un desprendimiento entre la placa y el suelo.

El factor de seguridad será evaluado como:

$$FS = \frac{Q_u}{Q}$$

Donde:

• $Qu$: Capacidad de carga ($\text{kN}$).
• $Q$: Carga vertical aplicada ($\text{kN}$).

Para calcular la capacidad de carga $Q_u$, Meyerhof sugiere usar las siguientes dimensiones efectivas para el cálculo mediante la Ecuación General de Capacidad de Carga:

$$B' = \text{ancho efectivo} = B - 2 e$$ $$L' = \text{largo efectivo} = L$$

Esto modifica la ecuación de capacidad de carga:

$$q'_{u} = c' N_c F_{cs} F_{cd} F_{ci} + \gamma q' N_q F_{qs} F_{qd} F_{qi} + 0.5 \gamma B' N_\gamma F_{\gamma s} F_{\gamma d} F_{\gamma i}$$

Para calcular los factores $F_{cs}$, $F_{qs}$ y $F_{\gamma s}$, se debe reemplazar los valores de $B$ y $L$, por $B'$ y $L'$ respectivamente.

Por su parte $F_{cd}$, $F_{qd}$ y $F_{\gamma d}$ sí deben calcularse con $B$ y $L$, no con $B'$ y $L'$.

También, el área de aplicación de la carga debe modificarse por el área efectiva:

$$A' = B' L'$$

Por lo tanto:

$$Q_u = q'_u A'$$

Asentamiento elástico

Este método se basa en la teoría de la elasticidad. El asentamiento elástico ($S_e$) se calcula con la siguiente ecuación:

$$S_e = \frac{qB}{E} (1 - \mu^2) I_s I_f$$

Donde:

• $S_e$: Asentamiento elástico ($\text{m}$).
• $q$: Carga aplicada por la cimentación ($\text{kN/m}^2$).
• $B$: Ancho de la cimentación ($\text{m}$).
• $\mu$: Coeficiente de Poisson del suelo (adimensional).
• $E$: Módulo de elasticidad del suelo ($\text{kN/m}^2$).
• $I_s$: Factor de influencia, que depende de la profundidad de la capa rígida (adimensional).
• $I_f$: Factor de influencia, que depende de la profundidad de la cimentación (adimensional).

Efecto de la capa rígida

Cuando bajo el suelo subyace una capa rígida, se debe tener en cuenta un factor de influencia ($I_s$)que disminuye el asentamiento calculado.

$$I_s = F_1 + \frac{1-2 \mu s}{1-\mu_s} F_2$$

Donde:

$$F_1 = \frac{1}{\pi}(A_0 + A_1)$$ $$F_2 = \frac{n'}{2 \pi}\tan^{-1} A_2$$

Siendo $A_0$, $A_1$ y $A_2$:

$$A_0 = m' \ln \frac{\left(1+\sqrt{m'^2+1}\right) \sqrt{m'^2+n'^2}}{m' \left( 1+\sqrt{m'^2+n'^2+1} \right)}$$ $$A_1 = \ln \frac{\left(m'+\sqrt{m'^2+1}\right) \sqrt{1+n'^2}}{\left(m'+\sqrt{m'^2+n'^2+1} \right)}$$ $$A_2 = \frac{m'}{n' + \sqrt{m'^2+n'^2+1}}$$

Y por último:

$$m' = \frac{L}{B}$$ $$n' = \frac{H}{B}$$

Efecto de la profundidad de desplante

Cuando la base de la cimentación se encuentra debajo del nivel del terreno ($D_f > 0$), se debe incluir el respectivo factor de influencia ($I_f$) para disminuir el cálculo del asentamiento. Este factor se determina mediante los siguientes ábacos.

Módulo de Elasticidad

Al haber más de una capa de suelo, se debe calcular el promedio ponderado del módulo de elasticidad de los depósitos de suelo:

$$E_s = \frac{\sum E_{s(i)}\Delta z}{\bar z}$$

Donde:

• $E_s$: módulo de elasticidad promedio.
• $E_{s(i)}$: módulo de elasticidad para una capa de espesor $\Delta z$
• $\bar z$: el menor valor entre $H$ y $5 B$

Referencias

• Das, B. M., & Sivakugan, N. (2018). Principles of Foundation Engineering.