Fórmula de Manning: ecuación, coeficiente n y ejemplos

La fórmula de Manning da la velocidad media del flujo uniforme en un canal abierto a partir de la rugosidad de sus paredes, la forma de la sección mojada y la pendiente. En unidades del sistema internacional se escribe $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}$, y el caudal sale de multiplicar esa velocidad por el área: $Q = VA$. Con ella se dimensionan cunetas, canales de riego, alcantarillas y colectores pluviales, y se calcula el tirante con el que un caudal va a correr por ellos.

Más abajo, dos ejemplos resueltos a mano sobre un mismo canal de tierra, el caudal para un tirante dado y el tirante para un caudal dado, se verifican con el motor de Rischio.

La ecuación de Manning y sus términos

En unidades SI, con longitudes en metros y tiempo en segundos:

• $V$ es la velocidad media en la sección (m/s).
• $Q$ es el caudal (m³/s).
• $n$ es el coeficiente de rugosidad de Manning del contorno del canal.
• $A$ es el área mojada, la sección transversal del agua (m²).
• $P$ es el perímetro mojado, el largo del contorno en contacto con el agua (m).
• $R = A/P$ es el radio hidráulico (m).
• $S$ es la pendiente de la línea de energía (m/m), que en flujo uniforme es la pendiente del fondo.

El producto $A R^{2/3}$ solo depende de la forma de la sección y del tirante. Se llama factor de sección para flujo uniforme, y $K = \frac{1}{n} A R^{2/3}$ es la capacidad de conducción de la sección, de modo que $Q = K S^{1/2}$. El segundo ejemplo resuelto despeja justamente el factor de sección.

En España y en buena parte de Europa, la misma ecuación se escribe con el coeficiente de Strickler, $k_{St} = 1/n$, como $V = k_{St} R^{2/3} S^{1/2}$. Un canal de concreto (hormigón) allanado, con $n = 0.013$, tiene $k_{St} \approx 77$.

La fórmula de Manning en unidades inglesas

Con $V$ en pies por segundo y $R$ en pies:

La ecuación es empírica y sus unidades no cuadran: en rigor, $n$ tiene unidades de $\text{s/m}^{1/3}$. El 1,49 (1,486 con cuatro cifras) es la raíz cúbica de 3,2808, los pies que tiene un metro, y permite usar el mismo $n$ en los dos sistemas. Por eso las tablas del coeficiente de Manning dan un solo número.

Qué supone la ecuación

La fórmula de Manning describe el flujo uniforme, el estado al que llega un canal cuando la componente del peso del agua a lo largo de la pendiente se equilibra con la fricción del contorno. Supone:

• Flujo permanente. El caudal en una sección no cambia con el tiempo.
• Flujo uniforme. El tirante, el área y la velocidad son los mismos de una sección a la siguiente. Para eso el canal tiene que ser prismático (la misma forma, pendiente y revestimiento a lo largo del tramo) y lo bastante largo para que el flujo se estabilice. Entonces el fondo, la superficie del agua y la línea de energía corren paralelos, y la $S$ de la ecuación es a la vez la pendiente del fondo, la de la superficie libre y la de fricción.
• Flujo turbulento plenamente rugoso. $n$ es una constante del contorno solo si el flujo es turbulento y la rugosidad de las paredes gobierna la fricción. Se cumple en casi todos los canales y alcantarillados, aunque no en una lámina de agua muy delgada sobre una superficie lisa.
• Superficie libre. El agua está a presión atmosférica; una tubería llena a presión es otro problema.

Cerca de una compuerta, un vertedero, la entrada de una alcantarilla o un cambio de pendiente, el flujo deja de ser uniforme y la ecuación ya no da el tirante. Sí da la pendiente de fricción dentro de los cálculos que lo resuelven.

Cómo se calcula el radio hidráulico

El radio hidráulico es el área mojada dividida entre el perímetro mojado: $R = A/P$. En $P$ solo cuenta el contorno sólido bajo el agua. La superficie libre no entra, porque el aire casi no opone resistencia. $R$ mide cuánta agua hay por cada metro de contorno que la frena, y por eso una sección profunda y compacta conduce más que una ancha y baja de la misma área.

Dos atajos sirven para revisar un resultado. En un canal ancho y poco profundo, $P$ se acerca al ancho superficial y $R$ al tirante. En una tubería llena o a media sección, $R = D/4$: el radio hidráulico de un tubo es la cuarta parte de su diámetro, y no su radio.

Para las secciones prismáticas usuales, con el tirante $y$ medido desde el fondo y taludes de $z$ en horizontal por 1 en vertical:

El rectángulo es el trapecio con $z = 0$, y el triángulo, el trapecio con $b = 0$. $T$ es el ancho de la superficie libre, el espejo de agua. La fórmula de Manning no lo usa, pero el número de Froude y el tirante crítico sí. El ángulo $\theta$ de la sección circular se define en el apartado siguiente.

Tubería parcialmente llena

Cuando un colector pluvial, un alcantarillado sanitario o una alcantarilla no trabajan llenos, tienen superficie libre: son canales abiertos y la fórmula de Manning vale. Su geometría pasa por el ángulo $\theta$, en radianes, que la superficie del agua subtiende desde el centro del tubo:

Toma un colector pluvial de concreto de 600 mm, con $n = 0.013$, tendido al 0,3 % ($S = 0.003$) y con 0,45 m de agua, a tres cuartos de su diámetro:

Lleno, el mismo tubo tiene $A = 0.2827$ m² y $R = D/4 = 0.150$ m, así que $V = 1.19$ m/s y $Q = 0.336$ m³/s. A tres cuartos lleva el 91 % de ese caudal, a una velocidad un 13 % mayor. Con $n$ constante, el caudal llega a su máximo hacia $y/D = 0.94$, con cerca de 1,08 veces el caudal a tubo lleno, y la velocidad hacia $y/D = 0.81$, con cerca de 1,14 veces la velocidad a tubo lleno: junto a la clave, el perímetro mojado crece más rápido que el área. En diseño se toma como límite la capacidad a tubo lleno, sin contar con esa pequeña ganancia.

Las normas de alcantarillado de cada país fijan el $n$ de diseño y una velocidad mínima para que los sólidos no se sedimenten. En Estados Unidos, las Recommended Standards for Wastewater Facilities (las «Ten States Standards») fijan las pendientes mínimas de los alcantarillados sanitarios con $n = 0.013$, sea cual sea el material de la tubería, para que alcancen al menos 0,6 m/s (2 pies/s) a tubo lleno.

El coeficiente de rugosidad de Manning

El coeficiente de Manning, $n$, reúne todo lo que en el contorno se opone al flujo: la aspereza de la superficie, la vegetación, las irregularidades de la sección, los cambios a lo largo del tramo, las obstrucciones y los meandros. No se deduce del material: los valores publicados salen de canales en los que se midió el caudal. Estos son valores típicos, con su rango usual:

Elige dentro del rango según el estado en que va a estar el canal durante su vida útil. El concreto se vuelve más áspero con los años, y los canales de tierra se llenan de maleza entre una limpieza y otra.

Un revestimiento de pasto no tiene un $n$ constante. A medida que el flujo gana tirante y velocidad, el pasto se dobla y se acuesta, y su $n$ baja; por eso los canales revestidos de pasto se diseñan con curvas de $n$ contra el producto $VR$ para cada clase de pasto. En un cauce natural, el método de Cowan arma el $n$ desde un valor base según el material del lecho, le suma valores por irregularidad, cambios de sección, obstrucciones y vegetación, y multiplica el total por un factor de sinuosidad.

El caudal para un tirante dado es inversamente proporcional a $n$, así que un $n$ un 20 % más bajo que el real sobrestima la capacidad en un 25 %. El tirante es menos sensible: los 8,00 m³/s del segundo ejemplo corren con 1,22 m de tirante si $n = 0.020$, con 1,37 m si $n = 0.025$ y con 1,51 m si $n = 0.030$. El motor de Rischio advierte cuando un $n$ queda fuera de 0,010 a 0,150, el rango usual entre el concreto liso y la vegetación densa, y calcula de todos modos.

Tirante normal, tirante crítico y régimen de flujo

El tirante normal $y_n$ (en España, calado normal) es el tirante con el que un canal lleva un caudal dado en flujo uniforme, el que da la fórmula de Manning. Depende de la sección, de $n$ y de $S$, y en la mayoría de las formas no tiene solución cerrada, así que se halla por tanteo o numéricamente. La excepción es el canal rectangular muy ancho: con $R \approx y$, $y_n = (n q / S^{1/2})^{3/5}$, donde $q$ es el caudal por metro de ancho.

El tirante crítico $y_c$ es el tirante con el que ese mismo caudal pasa con la mínima energía específica, $E = y + V^2/2g$. Ahí

una condición que depende solo del caudal y de la sección, y no de $n$ ni de la pendiente. En un rectángulo se reduce a $y_c = (q^2/g)^{1/3}$.

El número de Froude compara la velocidad del agua con la de una onda pequeña en su superficie:

$A/T$ es la profundidad hidráulica, el tirante medio de la sección: igual a $y$ en un rectángulo y menor en una sección que se ensancha hacia arriba, como un trapecio. El flujo uniforme más profundo que el crítico, $y_n > y_c$, tiene $Fr < 1$. Es subcrítico, lento y profundo: una perturbación puede viajar aguas arriba y el tirante se controla desde aguas abajo. El flujo uniforme menos profundo que el crítico tiene $Fr > 1$. Es supercrítico, rápido y poco profundo, y se controla desde aguas arriba. Una pendiente en la que $y_n > y_c$ se llama suave, y una en la que $y_n < y_c$, fuerte; en la pendiente crítica $S_c$ los dos tirantes coinciden.

Cerca de $Fr = 1$ la superficie se vuelve ondulada e inestable, porque ahí un cambio pequeño de energía produce un cambio grande de tirante. El motor de Rischio advierte de flujo casi crítico cuando $0.8 < Fr < 1.2$. Donde un flujo supercrítico se encuentra con uno subcrítico, el agua sube en un resalto hidráulico. Donde un flujo subcrítico se acelera hasta volverse supercrítico, en una caída libre o un aumento brusco de pendiente, pasa por el tirante crítico. Los dos son flujo rápidamente variado y quedan fuera del alcance de la fórmula de Manning.

Rugosidad compuesta: cuando n cambia en la sección

Pocas secciones reales tienen un solo revestimiento. Un canal puede tener el fondo de concreto y los taludes con pasto, y un río tiene su cauce principal entre planicies con arbustos. La herramienta de canales de Rischio recibe una sección dibujada vértice por vértice, con su propio $n$ en cada tramo, y la resuelve así en cada nivel de agua que calcula:

1. Los tramos mojados forman la sección a ese nivel. Un tramo que cruza la superficie se corta ahí, y solo cuenta su parte mojada.
2. La sección se divide en partes en cada vértice donde cambia $n$, y en cualquier tramo seco entre dos pozos.
3. Una parte hecha solo de tramos más empinados que 1 vertical a 5 horizontal se une a la parte hacia la que baja. Los taludes de un canal, con su propio $n$, siguen con su fondo, como HEC-RAS mantiene entero un cauce principal de taludes empinados.
4. Una parte con más de un $n$ toma el equivalente de Horton-Einstein, que supone que toda la parte avanza a una misma velocidad media: $$n = \left( \frac{\Sigma P_i n_i^{1.5}}{P} \right)^{2/3}$$
5. Cada parte lleva su caudal según su propia área, su perímetro mojado y su $n$, y la sección lleva la suma. Las líneas verticales entre partes no son perímetro mojado: $$Q = \sum_j \frac{1}{n_j} A_j R_j^{2/3} S^{1/2}$$

Toma el canal de los ejemplos, con 1,00 m de tirante, el fondo revestido de concreto ($n = 0.015$) y los taludes con pasto ($n = 0.027$). Los taludes, a 1,5 horizontal por 1 vertical, son más empinados que 1 a 5, así que la sección sigue siendo una sola parte. El fondo moja 3,000 m y los dos taludes, 3,606 m:

Con el mismo tirante, el caudal es inversamente proporcional a $n$: $Q = 4.407 \times 0.025 / 0.02197 = 5.015$ m³/s, donde 4,407 m³/s es lo que lleva el canal de tierra sin revestir del ejemplo 1, más abajo. Revestir el fondo suma un 14 %, y $V = 5.015 / 4.50 = 1.114$ m/s. El motor de Rischio da lo mismo: para 5,015 m³/s encuentra el tirante normal en 1,000 m, con $n = 0.0220$ por Horton-Einstein.

Una planicie más tendida que 1 a 5, con un $n$ distinto del de su cauce, forma una parte propia. El agua sobre una planicie es baja y lenta al lado del agua profunda y rápida del cauce. Si se juntaran en una sola sección, el largo perímetro mojado de la planicie bajaría el radio hidráulico del conjunto y subestimaría lo que lleva el cauce. Cuando la sección mojada es una sola parte, la memoria de cálculo de Rischio da su $n$ equivalente; cuando está dividida, da $V = Q/A$, porque un solo $n$ para el conjunto saldría menor que el de cualquiera de sus partes.

Una planicie con el mismo $n$ que su cauce no se separa de él, porque su $n$ no cambia en la banca. Cuando el agua empieza a cubrir esa planicie, el perímetro mojado crece mucho más rápido que el área, y el caudal puede bajar mientras el tirante sube: entonces más de un tirante lleva el mismo $Q$. Rischio lo advierte, y la solución es darles a las planicies su propio $n$. El método completo está en la documentación, en la sección y su rugosidad y flujo normal y crítico.

El editor de abajo es el del estudio, con el mismo motor. Su pestaña Compuesto es un cauce revestido entre planicies más rugosas. Selecciona la sección para ver la rugosidad de sus tramos en el dibujo, cambia el caudal y haz clic en Calcular para ver hasta dónde se extiende el agua sobre las planicies.

Ejemplo 1: el caudal para un tirante dado

Un canal trapezoidal excavado en tierra, limpio y con algo de grava ($n = 0.025$), tiene 3,00 m de ancho de fondo, taludes de 1,5 horizontal por 1 vertical ($z = 1.5$) y bancas (las orillas) a 2,00 m sobre el fondo. Su pendiente es del 0,1 % ($S = 0.001$). ¿Qué caudal lleva en flujo uniforme con 1,00 m de tirante? La figura del apartado sobre el radio hidráulico dibuja este caso.

Paso 1: la geometría

Paso 2: la velocidad

Paso 3: el caudal

Paso 4: el régimen

Con $Fr < 1$, el flujo es subcrítico.

El motor de Rischio da lo mismo. Para un caudal de 4,407 m³/s en esta sección, encuentra el tirante normal en 1,000 m, con $V = 0.979$ m/s y $Fr = 0.361$, y agrega el tirante crítico: 0,548 m, muy por debajo del agua.

Ejemplo 2: el tirante normal para un caudal dado

El mismo canal tiene que llevar 8,00 m³/s. ¿Con qué tirante va a correr?

En un trapecio el tirante no se puede despejar de la fórmula de Manning, así que se busca por tanteo. Al pasar a un lado todo lo que depende del tirante queda el factor de sección que necesita el canal:

Cada tirante de prueba da $A$, $P$ y $R$, y con ellos $A R^{2/3}$, que se compara con 6,325:

Los tanteos 1 y 2 encierran la respuesta. Una recta entre ellos da el tercero,

que se queda corto, y una recta entre el 3 y el 2 da el cuarto:

Con 1,37 m el factor de sección es 6,322, a menos del 0,05 % del objetivo, y una interpolación más mueve el tirante un tercio de milímetro. El tirante normal es $y_n = 1.370$ m. Ahí $A = 6.927$ m², $P = 7.941$ m, $R = 0.872$ m y $T = 3.00 + 2 \times 1.5 \times 1.370 = 7.11$ m, y la velocidad media es

Tirante crítico y régimen

El tirante crítico resuelve $Q^2 T / (g A^3) = 1$, otra vez por tanteo. Con $y = 0.783$ m, $A = (3.00 + 1.5 \times 0.783) \times 0.783 = 3.269$ m² y $T = 3.00 + 2 \times 1.5 \times 0.783 = 5.349$ m:

así que $y_c = 0.783$ m. En el tirante normal, la profundidad hidráulica es $A/T = 6.927 / 7.111 = 0.974$ m, y

El flujo es subcrítico y la pendiente es suave: el tirante normal, 1,37 m, queda muy por encima del crítico, 0,78 m. Para este caudal la pendiente crítica es de unos 0,008, así que el canal tendría que ser ocho veces más empinado para llevar 8,00 m³/s con el tirante crítico.

Capacidad y borde libre

Lleno hasta sus bancas, con $y = 2.00$ m, el canal tiene $A = 12.00$ m², $P = 10.21$ m y $R = 1.175$ m, y lleva

El caudal de diseño usa el 47 % de esa capacidad y deja 0,63 m de borde libre.

El motor de Rischio da lo mismo: un tirante normal de 1,370 m, una velocidad de 1,155 m/s, un número de Froude de 0,374, un tirante crítico de 0,783 m y una capacidad a banca llena de 16,90 m³/s. Halla el tirante normal con el método de Brent, que encierra la raíz como lo hicieron los tanteos 1 y 2 y después la acota, hasta unos $10^{-12}$ m.

La calculadora de abajo abre con este mismo canal llevando 8 m³/s. En Calcular, elige Caudal: toma un tirante de 1 m, que es el ejemplo 1. Cambia $n$ o la pendiente y mira cuánto se mueve el tirante. Su página, la calculadora de Manning, explica cómo calcula.

Dónde se usa la fórmula de Manning y dónde no alcanza

Es la ecuación de trabajo para:

• cunetas, canales de drenaje y canales de riego, para dimensionar la sección y el revestimiento según el caudal de diseño, revisar el borde libre y comparar la velocidad con la que aguanta el revestimiento;
• alcantarillas (obras de drenaje transversal) y colectores pluviales que trabajan parcialmente llenos, para el tirante y la velocidad en el conducto; cuando una alcantarilla va llena, el $n$ de Manning también da la pérdida por fricción a lo largo del conducto;
• alcantarillados sanitarios, para su capacidad y su velocidad de autolimpieza;
• cauces naturales, para el tirante normal de una crecida o, partiendo de las marcas que dejó el agua, el caudal pico de una crecida pasada (el método de pendiente y área).

Sus límites salen de sus supuestos:

• Cerca de un control, como una compuerta, un vertedero, la entrada de una alcantarilla, una caída o un cambio de pendiente o de sección, el tirante cambia a lo largo del canal. El perfil de la superficie pide entonces un cálculo de flujo gradualmente variado, como el método del paso estándar, en el que la fórmula de Manning da la pendiente de fricción de cada paso.
• El flujo rápidamente variado, como un resalto hidráulico o el paso sobre un vertedero, pide las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energía.
• El flujo no permanente, como una onda de crecida que baja por un río, pide las ecuaciones de Saint-Venant, con la de Manning como término de fricción.
• Las tuberías llenas a presión se calculan con Darcy-Weisbach o Hazen-Williams.
• En un cauce de lecho arenoso, el fondo forma rizos y dunas que cambian con el flujo, y $n$ cambia con ellos.
• El resultado vale lo que vale $n$, el dato más incierto en la mayoría de los diseños.

La herramienta de canales de Rischio trabaja dentro de esos límites: flujo permanente y uniforme en un canal prismático de cualquier sección. Los perfiles de remanso, el flujo no permanente, la hidráulica de alcantarillas, los vertederos y el transporte de sedimentos quedan por fuera. Dentro de ellos, recibe cualquier sección dibujada vértice por vértice, con un $n$ en cada tramo y planicies incluidas, y da los tirantes normal y crítico, el número de Froude, la energía específica, la curva de descarga del fondo a las bancas y el chequeo de capacidad a banca llena. Su memoria de cálculo escribe cada paso, y la documentación explica el método y sus supuestos. Para un rectángulo, un trapecio o un triángulo con un solo $n$, la calculadora de Manning es gratis y no pide cuenta.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el coeficiente de Manning?

Un coeficiente empírico que mide cuánto frena al agua el contorno de un canal: la aspereza del revestimiento, la vegetación, las irregularidades y los meandros. Valores típicos: 0,013 para concreto allanado, 0,022 para un canal de tierra limpio expuesto a la intemperie, 0,027 para tierra con pasto corto y de 0,030 a 0,050 para cauces naturales limpios.

¿Cuál es la fórmula para calcular el radio hidráulico?

$R = A/P$, el área mojada dividida entre el perímetro mojado. En un trapecio con ancho de fondo $b$ y taludes $z$, con un tirante $y$, es $R = (b + z y)\,y / (b + 2y\sqrt{1 + z^2})$. En una tubería llena o a media sección, $R = D/4$.

¿Cómo se calcula el caudal en una tubería parcialmente llena?

Con la fórmula de Manning y la geometría del círculo. El ángulo $\theta = 2\arccos(1 - 2y/D)$ da el área $A = \frac{D^2}{8}(\theta - \sin\theta)$ y el perímetro mojado $P = D\theta/2$; con ellos salen $R = A/P$, $V$ y $Q = VA$. Un colector de 600 mm con $n = 0.013$, al 0,3 % y con 0,45 m de agua, lleva 0,307 m³/s.

¿Para qué sirve la fórmula de Manning?

Para relacionar el caudal, el tirante y la velocidad del flujo uniforme en canales abiertos y en tuberías parcialmente llenas. Con ella se dimensionan cunetas, canales y alcantarillados, se halla el tirante con el que correrá un caudal, se revisa la capacidad de un canal y se estima el caudal de un río.

¿Cuál es la fórmula de Manning en unidades inglesas?

$V = \frac{1.49}{n} R^{2/3} S^{1/2}$, con $V$ en pies por segundo y $R$ en pies. El 1,49 convierte las unidades, y $n$ es el mismo número en los dos sistemas.

¿Qué diferencia hay entre el tirante normal y el tirante crítico?

El normal es el tirante del flujo uniforme, el que da la fórmula de Manning, y depende de $n$ y de la pendiente. El crítico es el tirante de mínima energía específica para ese caudal, con $Fr = 1$, y solo depende del caudal y de la sección. Si el normal es mayor que el crítico, el flujo es subcrítico; si es menor, supercrítico.