Ecuaciones · Muros de contención

Cada paso del cálculo de un muro de contención en Rischio, con su ecuación, en el mismo orden que la memoria de cálculo.

Estos son los mismos pasos, en el mismo orden, que la memoria de cálculo; una memoria omite lo que su modelo no tiene, como la subpresión cuando no hay agua.

1Geometría y pesos

Peso de cada parte
$W = A \cdot \gamma_c$
donde $A$ área de cada parte (m²)
Peso del suelo sobre el talón
$W_s = \Sigma A_i \gamma_i \quad (\gamma_{sat} \text{ bajo el nivel freático})$

2Empuje del suelo

Altura del respaldo virtual
$H' \text{ (altura del respaldo virtual en el talón)}$
Sobrecarga
$q = \Sigma q_i$
Empuje de la sobrecarga
$\Delta P_{a,h} \approx K_a \, q \, H' \quad \text{(sin contar el peso sobre el talón)}$
donde $q$ sobrecarga (kPa); $H'$ altura del respaldo virtual (m)
Empuje activo, horizontal
$P_{a,h} = \int_0^{H'} \left[ (\sigma'_v + q) K_a - 2c\sqrt{K_a} \right]^+ dz \cdot \cos\beta$
donde $q$ sobrecarga (kPa); $H'$ altura del respaldo virtual (m)
Empuje activo, vertical
$P_{a,v} = \int_0^{H'} \sigma_a \, dz \cdot \sin\beta$
Empuje del agua
$P_w = \tfrac{1}{2} \gamma_w h_w^2$
Profundidad de la grieta de tracción
$z_c: \sigma_a(z_c) = 0$
Empuje del agua en la grieta
$P_{wc} = \tfrac{1}{2} \gamma_w z_c^2$
donde $z_c$ profundidad de la grieta de tracción (m)
Empuje activo antes de la grieta (de libro)
$P_{a,h}^{\text{no crack}} = \int_0^{H'} \left[ (\sigma'_v + q) K_a - 2c\sqrt{K_a} \right] dz \cdot \cos\beta$
donde $q$ sobrecarga (kPa); $H'$ altura del respaldo virtual (m)
Resistencia pasiva
$P_p = \int_0^{D_f} \sigma_p \, dz$

3Subpresión

Subpresión en el talón
$u_{heel} = \gamma_w h_{heel}$
Subpresión en la punta
$u_{toe} = \gamma_w h_{toe}$
Subpresión
$U = \tfrac{1}{2} (u_{heel} + u_{toe}) B$
donde $u_{heel}$ subpresión en el talón (kPa); $u_{toe}$ subpresión en la punta (kPa); $B$ ancho de la base (m)
Brazo de la subpresión
$x_U = \frac{B (u_{toe} + 2 u_{heel})}{3 (u_{toe} + u_{heel})}$
donde $u_{heel}$ subpresión en el talón (kPa); $u_{toe}$ subpresión en la punta (kPa)

4Volcamiento

Momento resistente
$\Sigma M_R = \Sigma W_i x_i + W_s x_s + P_{a,v} B$
donde $W_{stem}$ peso de cada parte (kN/m); $x_{stem}$ brazo de cada parte (m); $W_s$ peso del suelo sobre el talón (kN/m); $x_s$ arm.backfill (m); $P_{a,v}$ empuje activo, vertical (kN/m); $B$ ancho de la base (m)
Momento de volcamiento
$\Sigma M_O = P_{a,h} \, y_a + P_w \, y_w + P_{wc} \, y_{wc} + U x_U$
donde $P_{a,h}$ empuje activo, horizontal (kN/m); $y_a$ active_thrust_arm (m); $P_w$ empuje del agua (kN/m); $y_w$ water_thrust_arm (m); $P_{wc}$ empuje del agua en la grieta (kN/m); $y_{wc}$ crack_water_thrust_arm (m); $U$ subpresión (kN/m); $x_U$ brazo de la subpresión (m)
Volcamiento
$FS = \frac{\Sigma M_R}{\Sigma M_O} \; \ge 2.0$

5Deslizamiento

Fuerza vertical total
$\Sigma V = \Sigma W_i + W_s + P_{a,v} - U$
donde $W_{stem}$ peso de cada parte (kN/m); $W_s$ peso del suelo sobre el talón (kN/m); $P_{a,v}$ empuje activo, vertical (kN/m); $U$ subpresión (kN/m)
Fuerza horizontal total
$\Sigma H = P_{a,h} + P_w + P_{wc}$
donde $P_{a,h}$ empuje activo, horizontal (kN/m); $P_w$ empuje del agua (kN/m); $P_{wc}$ empuje del agua en la grieta (kN/m)
Ángulo de fricción en la base
$\delta = \tfrac{2}{3} \phi$
Adherencia en la base
$c_a = \tfrac{2}{3} c$
Resistencia al deslizamiento
$R = \Sigma V \tan\delta + B \, c_a + P_p$
donde $\Sigma V$ fuerza vertical total (kN/m); $\delta$ ángulo de fricción en la base (°); $B$ ancho de la base (m); $c_a$ adherencia en la base (kPa); $P_p$ resistencia pasiva (kN/m)
Deslizamiento
$FS = \frac{R}{\Sigma H} \; \ge 1.5$

6Capacidad portante

Excentricidad de la resultante
$e = \left| \frac{B}{2} - \frac{\Sigma M_R - \Sigma M_O}{\Sigma V} \right|$
donde $B$ ancho de la base (m); $\Sigma M_R$ momento resistente (kN·m/m); $\Sigma M_O$ momento de volcamiento (kN·m/m); $\Sigma V$ fuerza vertical total (kN/m)
Presión de contacto máxima
$q_{max} = \frac{\Sigma V}{B} \left(1 + \frac{6e}{B}\right)$
donde $\Sigma V$ fuerza vertical total (kN/m); $B$ ancho de la base (m); $e$ excentricidad de la resultante (m)
Presión de contacto mínima
$q_{min} = \frac{\Sigma V}{B} \left(1 - \frac{6e}{B}\right)$
donde $\Sigma V$ fuerza vertical total (kN/m); $B$ ancho de la base (m); $e$ excentricidad de la resultante (m)
Ancho efectivo
$B' = B - 2e$
donde $B$ ancho de la base (m); $e$ excentricidad de la resultante (m)
Sobrecarga efectiva en la base
$q = \sigma'_v(D_f)$
Capacidad portante última
$q_u = c N_c F_{cs} F_{cd} F_{ci} + q N_q F_{qs} F_{qd} F_{qi} + \tfrac{1}{2} \gamma' B' N_\gamma F_{\gamma s} F_{\gamma d} F_{\gamma i}$
donde $q$ sobrecarga efectiva en la base (kPa); $\gamma'$ peso unitario efectivo bajo la base (kN/m³); $B'$ ancho efectivo (m); $N_c$ factor de capacidad portante; $N_q$ factor de capacidad portante; $N_\gamma$ factor de capacidad portante; $F_{cs}$ bearing.Fcs; $F_{qs}$ bearing.Fqs; $F_{\gamma s}$ bearing.Fgs; $F_{cd}$ bearing.Fcd; $F_{qd}$ bearing.Fqd; $F_{\gamma d}$ bearing.Fgd; $F_{ci}$ bearing.Fci; $F_{qi}$ bearing.Fqi; $F_{\gamma i}$ bearing.Fgi
Capacidad portante
$FS = \frac{q_u}{q_{max}} \; \ge 3.0$

7Excentricidad

Excentricidad
$e \le \frac{B}{6}$

8Niveles de gaviones

Volcamiento de cada nivel sobre el de abajo
$FS \; \ge 2.0$
Deslizamiento de cada nivel sobre el de abajo
$FS \; \ge 1.5$